Consigne: Étudier la nature du point critique donné : $$f(x,y)=x^2-xy+y^2\qquad (0,0)$$

Déterminant de la matrice hessienne \(\to\) conclusion

$$H_f(0,0)=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1&2\end{pmatrix}$$ on a donc \(\operatorname{det} H(0,0)=3\gt 0\)
Donc \((0,0)\) est un minimum ou un maximum et comme \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(0,0)\gt 0\), c'est un minimum

(Déterminant, Matrice Hessienne)

Consigne: Étudier la nature du point critique donné : $$f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6\qquad(0,0)$$

Le déterminant de la matrice hessienne est nulle \(\to\) on ne peut pas conclure de cette façon \(\to\) factorisation

$$f(x,y)=(x+y)^2+6$$ \((0,0)\) est donc un minimum global de \(f\)

Consigne: Étudier la nature du point critique donné : $$f(x,y)=x^3+2xy^2-y^4+x^2+3xy+y^2+10\qquad(0,0)$$

Déterminant de la hessienne en \((0,0)\)

\(\operatorname{det} H(0,0)=\begin{vmatrix}2&3\\ 3&2\end{vmatrix}=-5\lt 0\)
\((0,0)\) est donc un point selle de \(f\)

Consigne: Chercher les extrémums de la fonction suivante : $$f(x,y)=3xy-x^3-y^3$$

Résolution du système
On résout : $$\begin{align}\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}&\,\iff\begin{cases}3y-3x^2=0\\ 3x-3y^2=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} y = x^2\\ x-x^4=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} y=x^2\\ x(1-x^3)=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} y=0\\ x=0\end{cases}\quad\text{ ou }\quad \begin{cases} y=1\\ x=1\end{cases}\end{align}$$

On étudie la nature de \((0,0)\) : $$\operatorname{det} H_f(0,0)=\begin{vmatrix}0&3\\ 3&0\end{vmatrix}=-9\lt 0$$ donc \((0,0)\) est un point selle
On étudie la nature de \((1,1)\) : $$\operatorname{det} H_f(1,1)=\begin{vmatrix}-6&3\\ 3&-6\end{vmatrix}\gt 0$$ donc \((1,1)\) est un extremum local
Et comme \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,1)=-6\lt 0\), \((1,1)\) est un maximum local

Consigne: Chercher les extrémums de la fonction suivante : $$f(x,y)=-2(x-y)^2+x^4+y^4$$

Résoudre le système
On détermine les points critiques : $$\begin{align}\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}\;&\iff\begin{cases}-4(x-y)+4x^3=0\\ 4(x-y)+4y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x^3+y^3=0\\ x-y+y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x^3=-y^3\\ x-y+y^3=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x = -y\\ y^3-2y=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x= -y\\ y(y^2-2)=0\end{cases}\\ &\iff\begin{cases} x=0\\ y=0\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} x=\sqrt2\\ y=-\sqrt2\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} x=-\sqrt2\\ y=\sqrt2\end{cases}\end{align}$$

Montrer par l'absurde que c'est un point selle

Étude en \((0,0)\)
On a : $$f(x,y)=-2(x-y)^2+x^4+y^4$$ si \(f(x,y)\geqslant f(0,0)=0\), alors \((0,0)\) est un minimum
Or, on a \(f(x,0)=-2x^2+x^4\lt 0\) si \(x\neq0\), \(x\) proche de \(0\)
Ainsi, il existe des couples \((x,y)\) aussi proches de \((0,0)\) tq \(f(x,y)\lt f(0,0)\)
Donc \((0,0)\) n'est pas un minimum local
De même pour maximum local, \(f(x,x)=2x^4\gt 0\), donc \((0,0)\) n'est pas maximum local
\((0,0)\) est donc un point selle

Consigne: Chercher les extrémums de la fonction suivante :$$f(x,y)=x^2y^2(1+3x+2y)$$

Recherche des points critiques
$$\begin{align}\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}\iff&\begin{cases}2xy^2(1+3x+2y)+3x^2y^2=0\\ 2x^2y(1+3x+2y)+2x^2y^2=0\end{cases}\\ \iff&\begin{cases} xy^2(2+9x+4y)=0\\ x^2y(1+3x+3y=0\end{cases}\\ \iff&\begin{cases} x=0\\ x^2y(1+3x+3y)=0\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} y=0\\ x^2y(1+3x+3y)=0\end{cases}\quad\text{ ou }\quad\begin{cases}2+9x+4y=0\\ x^2y(1+3x+3y)=0\end{cases}\\ \iff& x=0\quad\text{ ou }\quad y=0\quad\text{ ou }\quad\begin{cases}2+9x+4y=0\\ x=0\quad\text{ ou }\quad y=0\quad\text{ ou }\quad 1+3x+3y=0\end{cases}\\ \iff&x=0\quad\text{ ou }\quad y=0\quad\text{ ou }\quad (x,y)=(0,-2)\quad\text{ ou }\quad(x,y)=(?,0)\\ &\quad\quad\text{ ou }\quad\begin{cases}2+9x+4y=0\\ 1+3x+3y=0\end{cases}\\ \iff& x=0\quad\text{ ou }\quad y=0\quad\text{ ou }\quad\begin{cases}-1-5y=0&L_1-3L_2\\ 1+3x+3y=0\end{cases}\\ \iff&x=0\quad\text{ ou }\quad y=0\quad\text{ ou }\quad\begin{cases} y=-1/5\\ x=-2/15\end{cases}\end{align}$$ les points critiques sont donc les points \((0,t),(t,0)\) avec \(t\in{\Bbb R}\) et \((-2/15,-1/5)\)

Nature des point critiques
On étudie la nature des points critiques :
Étude de \((0,t)\), avec \(t\in{\Bbb R}\) :
Le déterminant de la matrice hessienne est nul, on ne peut donc rien conclure de cette façon

2e méthode :
On a \(f(0,t_0)=0\)
- Si \(1+2t_0\gt 0\), i.e. \(t_0\gt \frac12\), on a \(1+3x+2y\gt 0\) au voisinage de \((0,t_0)\), donc \(f(x,y)\geqslant0=f(0,t_0)\), donc \(f(0,t_0)\) est un minimum local
- Si \(1+2t_0\lt 0\), i.e. \(t_0\lt \frac12\), on a \(1+3x+2y\lt 0\) au voisinage de \((0,t_0)\), donc \(f(x,y)\leqslant0=f(0,t_0)\), donc \(f(0,t_0)\) est un maximum local
- Au voisinage de \((0,-\frac12)\), il existe des points tels que \(f(x,y)\gt 0\) et des points tels que \(f(x,y)\lt 0\) (par exemple, \(f(\frac1n,-\frac12)\gt 0\) et \(f(-\frac1n,-\frac12)\lt 0\) et si \(n\) est assez grand, \((\frac1n,-\frac12)\) et \((-\frac1n,-\frac12)\) sont aussi proches que l'on veut de \((0,-\frac12)\)). Donc en \((0,-\frac12)\), on n'a ni minimum ni maximum : c'est donc un point selle
Cas similaire avec l'étude de \((t,0)\), avec \(t\in{\Bbb R}\)
Étude de \((-\frac2{15},-\frac15)\) : on voit que c'est un maximum global en calculant le déterminant de la matrice hessienne

Consigne: Chercher les extrémums de la fonction suivante :$$f(x,y)=2x+y-x^4-y^4$$

Recherche des points critiques
$$\begin{align}\begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}\iff&\begin{cases}2-4x^3=0\\ 1-4y^3=0\end{cases}\\ \iff&\begin{cases} x=(\frac12)^{1/3}\\ y=(\frac14)^{1/3}\end{cases}\end{align}$$
Donc \(f\) n'a qu'un point critique

Nature du point critique

La hessienne de \(f\) est : \(H_f(x,y)=\begin{pmatrix}-12x^2&0\\ 0&-12y^2\end{pmatrix}\), et \(\operatorname{det} H_f\gt 0\quad\forall x,y\in{\Bbb R}^*\)
Donc \(((\frac12)^{1/3},(\frac14)^{1/3})\) est un extremum local
Et comme \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}((\frac12)^{1/3},(\frac14)^{1/3})\lt 0\), c'est un maximum local